નીચે આપેલ વિધેયની સાતત્યતા ચકાસો: $f(x) = |x - 5|$.

Vedclass pdf generator app on play store
Vedclass iOS app on app store
આપેલ વિધેય $f(x) = |x - 5| = \begin{cases} 5 - x, & \text{જો } x < 5 \\ x - 5, & \text{જો } x \ge 5 \end{cases}$ છે.
આ વિધેય $f$ તમામ વાસ્તવિક સંખ્યાઓ માટે વ્યાખ્યાયિત છે.
ધારો કે $c$ કોઈ પણ વાસ્તવિક સંખ્યા છે. તો $c < 5$,$c = 5$,અથવા $c > 5$ થાય.
કિસ્સો $I$: $c < 5$.
તો $f(c) = 5 - c$.
$\lim_{x \to c} f(x) = \lim_{x \to c} (5 - x) = 5 - c$.
કારણ કે $\lim_{x \to c} f(x) = f(c)$,તેથી $f$ એ તમામ $c < 5$ માટે સતત છે.
કિસ્સો $II$: $c = 5$.
તો $f(5) = 5 - 5 = 0$.
ડાબી બાજુનું લક્ષ: $\lim_{x \to 5^-} f(x) = \lim_{x \to 5} (5 - x) = 5 - 5 = 0$.
જમણી બાજુનું લક્ષ: $\lim_{x \to 5^+} f(x) = \lim_{x \to 5} (x - 5) = 5 - 5 = 0$.
કારણ કે $\lim_{x \to 5^-} f(x) = \lim_{x \to 5^+} f(x) = f(5)$,તેથી $f$ એ $x = 5$ આગળ સતત છે.
કિસ્સો $III$: $c > 5$.
તો $f(c) = c - 5$.
$\lim_{x \to c} f(x) = \lim_{x \to c} (x - 5) = c - 5$.
કારણ કે $\lim_{x \to c} f(x) = f(c)$,તેથી $f$ એ તમામ $c > 5$ માટે સતત છે.
નિષ્કર્ષ: $f$ તમામ વાસ્તવિક સંખ્યાઓ માટે સતત હોવાથી,તે એક સતત વિધેય છે.

Explore More

Similar Questions

જો $x \neq 0$ માટે $f(x) = \frac{e^{2x} - (1 + 4x)^{1/2}}{\ln(1 - x^2)}$ હોય,તો $f$ પાસે

જો $f: R \rightarrow R$ એ $f(x) = \begin{cases} a^2 \cos^2 x + b^2 \sin^2 x, & x \leq 0 \\ e^{ax+b}, & x > 0 \end{cases}$ દ્વારા વ્યાખ્યાયિત હોય અને તે સતત વિધેય હોય,તો:

$x \in [0, 4]$ માટે વિધેય $f(x) = \sin(\{2^x + [2^x] + [3^{-x}]\})$ ના અસતત બિંદુઓની સંખ્યા શોધો (જ્યાં $[.]$ અને $\{.\}$ અનુક્રમે મહત્તમ પૂર્ણાંક અને અપૂર્ણાંક ભાગ વિધેય દર્શાવે છે).

વિધેય $f(x) = \begin{cases} x - 1, & x < 2 \\ 2x - 3, & x \ge 2 \end{cases}$ એ સતત વિધેય છે:

કયા બિંદુઓ પર વિધેય $f(x) = \frac{x}{[x]}$,જ્યાં $[.]$ એ મહત્તમ પૂર્ણાંક વિધેય છે,અસતત છે?

Vedclass Products

For Students

Vedclass Test Series

Mock tests in real JEE/NEET style with performance analysis. 5-day free trial.

Start Free Trial
For Teachers

Exam Paper Generator

Generate Set A/B/C/D exam papers from 7.5L+ questions in 2 minutes. 3 chapters free.

Try Free
For Institutes

Online Exam Module

Live online exams with unlimited students, 360° analytics & white-label branding.

See Demo